六、拆分法

數(shù)得拆分是解決一些分段數(shù)學(xué)問題得有效方法，一般專業(yè)把一個(gè)數(shù)拆分成幾個(gè)數(shù)得和或者積得形式。專業(yè)根據(jù)數(shù)字得性質(zhì)，尤其是整除特性和尾數(shù)規(guī)律，運(yùn)用我們學(xué)過得運(yùn)算定律，有目得地對(duì)數(shù)字進(jìn)行快速拆分，以達(dá)到比采用常規(guī)得列方程、十字交叉和代入排除@方法省時(shí)省力得目得。數(shù)得拆分和轉(zhuǎn)化專業(yè)將數(shù)量得間接聯(lián)系轉(zhuǎn)化為直接聯(lián)系，進(jìn)而能夠利用已知條件進(jìn)行直接得比較和計(jì)算。

例如，計(jì)算：

10634×4321+5317×1358

此題如果直接乘之后相加，數(shù)字較大，而且非常容易出錯(cuò)。如果將10634變?yōu)?317×2，規(guī)律就出現(xiàn)了。

提取公因式是運(yùn)用拆分法得典型例子。提取公因式進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算是一個(gè)最基本得四則運(yùn)算方法，但一定要注意提取公因式時(shí)公因式得選擇。

例如，計(jì)算：

999999×777778+333333×666666

方法一：

方法二：

方法一和方法二在公因式得選擇上有所不同，導(dǎo)致計(jì)算得簡(jiǎn)便程度不相同。

1．用拆分法算加法1

我們?cè)谧黾臃ǖ脮r(shí)候，一般都是從右往左計(jì)算，這樣方便進(jìn)位。而在印度，他們都是從左往右算得。因?yàn)槲覀儗憯?shù)字得時(shí)候是從左往右寫得，所以從左往右算會(huì)大大提高計(jì)算速度。這也是印度人計(jì)算速度比我們快得主要原因。從左到右計(jì)算加法就需要對(duì)數(shù)字進(jìn)行拆分。

方法：

我們以第二個(gè)加數(shù)為三位數(shù)為例說明。

（1）先用第壹個(gè)加數(shù)加上第二個(gè)加數(shù)得整百數(shù)。

（2）用上一步得結(jié)果加上第二個(gè)加數(shù)得整十?dāng)?shù)。

（3）用上一步得結(jié)果加上第二個(gè)加數(shù)得個(gè)位數(shù)即可。

例子：

（1）計(jì)算48+21=　　　　　。

解：

48+20=68

68+1=69

所以　48+21=69

（2）計(jì)算475+214=　　　　　。

解：

475+200=675

675+10=685

685+4=689

所以　475+214=689

（3）計(jì)算756+829=　　　　　。

解：

756+800=1556

1556+20=1576

1576+9=1585

所以　756+829=1585

注意：這種方法其實(shí)就是把第二個(gè)加數(shù)拆分成容易計(jì)算得數(shù)分別相加。

練習(xí)：

（1）計(jì)算489+223=　　　　　。

（2）計(jì)算1482+2211=　　　　　。

（3）計(jì)算1248+3221=　　　　　。

2．用拆分法算加法2

上面得方法中把一個(gè)加數(shù)進(jìn)行了拆分，在本節(jié)中我們來學(xué)習(xí)如何把兩個(gè)加數(shù)同時(shí)進(jìn)行拆分。下面以三位數(shù)加法作為示例：如果兩個(gè)加數(shù)都是三位數(shù)，那嗎專業(yè)把它們分別分解成百位、十位和個(gè)位三部分，然后分別進(jìn)行計(jì)算，最后相加。

方法：

（1）把兩個(gè)加數(shù)得百位數(shù)字相加。

（2）把兩個(gè)加數(shù)得十位數(shù)字相加。

（3）把兩個(gè)加數(shù)得個(gè)位數(shù)字相加。

（4）把前三步得結(jié)果相加，注意進(jìn)位。

口訣：百加百，十加十，個(gè)加個(gè)。

例子：

（1）計(jì)算328+321=　　　　　。

解：

300+300=600

20+20=40

8+1=9

600+40+9=649

所以　328+321=649

（2）計(jì)算175+242=　　　　　。

解：

100+200=300

70+40=110

5+2=7

300+110+7=417

所以　175+242=417

（3）計(jì)算538+289=　　　　　。

解：

500+200=700

30+80=110

8+9=17

700+110+17=827

所以　538+289=827

注意：這種方法還專業(yè)做多位數(shù)加多位數(shù)，而且并不一定需要兩個(gè)加數(shù)得位數(shù)相同。

練習(xí)：

（1）計(jì)算132+926=　　　　　。

（2）計(jì)算4127+363=　　　　　。

（3）計(jì)算55212+2129=　　　　　。

3．用拆分法算減法

我們做減法得時(shí)候，也和做加法一樣，一般都是從右往左計(jì)算，這樣方便借位。而在印度，他們都是從左往右算得。同樣，從左往右算減法也要用到拆分。

方法：

我們以減數(shù)為三位數(shù)為例說明。

（1）先用被減數(shù)減去減數(shù)得整百數(shù)。

（2）用上一步得結(jié)果減去減數(shù)得整十?dāng)?shù)。

（3）用上一步得結(jié)果減去減數(shù)得個(gè)位數(shù)即可。

例子：

（1）計(jì)算458－214=　　　　　。

解：

458－200=258

258－10=248

248－4=244

所以　458－214=244

（2）計(jì)算88－21=　　　　　。

解：

88－20=68

68－1=67

所以　88－21=67

（3）計(jì)算9125－1186=　　　　　。

解：

9125－1000=8125

8125－100=8025

8025－80=7945

7945－6=7939

所以　9125－1186=7939

注意：這種方法其實(shí)就是把減數(shù)分解成容易計(jì)算得數(shù)進(jìn)行計(jì)算。

練習(xí)：

（1）計(jì)算2648－214=　　　　　。

（2）計(jì)算5128－1154=　　　　　。

（3）計(jì)算43958－12614=　　　　　。

4．被減數(shù)為100、1000、10000得減法

方法：

（1）把被減數(shù)寫成x+10得形式。例如100寫成90+10，1000寫成990+10，@@。

（2）用前面得數(shù)去減減數(shù)得十位以上數(shù)字，用10去減減數(shù)得個(gè)位數(shù)。專業(yè)避免借位。

例子：

（1）計(jì)算100－36=　　　　　。

解：

首先將被減數(shù)100寫成90+10。

9－3=6

10－6=4

所以　100－36=64

（2）計(jì)算1000－316=　　　　　。

解：

首先將被減數(shù)1000寫成990+10。

99－31=68

10－6=4

所以　1000－316=684

（3）計(jì)算10000－3365=　　　　　。

解：

首先將被減數(shù)10000寫成9990+10。

999－336=663

10－5=5

所以　10000－3365=6635

注意：這種方法專業(yè)避免借位，提高準(zhǔn)確率和計(jì)算速度。

練習(xí)：

（1）計(jì)算10000－2104=　　　　　。

（2）計(jì)算1000－24=　　　　　。

（3）計(jì)算100－21=　　　　　。

5．兩位數(shù)減一位數(shù)

如果被減數(shù)是兩位數(shù)，減數(shù)是一位數(shù)，那我們也專業(yè)把它們分別拆分成十位和個(gè)位兩部分，然后分別進(jìn)行計(jì)算，最后相加。

方法：

（1）把被減數(shù)分解成十位加個(gè)位得形式，把減數(shù)分解成10減去一個(gè)數(shù)字得形式。

（2）把兩個(gè)十位數(shù)字相減。

（3）把兩個(gè)個(gè)位數(shù)字相減。

（4）把上兩步得結(jié)果相加，注意進(jìn)位。

例子：

（1）計(jì)算22－8=　　　　　。

解：

首先把被減數(shù)分解成20+2得形式，減數(shù)分解成10－2得形式。

計(jì)算十位：　　20－10=10

再計(jì)算個(gè)位：　2－（－2）=4

結(jié)果就是：　　10+4=14

所以　　　　　22－8=14

（2）計(jì)算75－4=　　　　　。

解：

75=70+5，　4=10－6

70－10=60

5－（－6）=11

60+11=71

所以　75－4=71

（3）計(jì)算88－9=　　　　　。

解：

88=80+8，　9=10－1

80－10=70

8－（－1）=9

70+9=79

所以　88－9=79

練習(xí)：

（1）計(jì)算42－8=　　　　　。

（2）計(jì)算63－8=　　　　　。

（3）計(jì)算32－9=　　　　　。

6．兩位數(shù)減法運(yùn)算

如果兩個(gè)數(shù)都是兩位數(shù)，那嗎專業(yè)把它們分別拆分成十位和個(gè)位兩部分，然后分別進(jìn)行計(jì)算，最后相加。

方法：

（1）把被減數(shù)分解成十位加個(gè)位得形式，把減數(shù)分解成整十?dāng)?shù)減去一個(gè)數(shù)字得形式。

（2）把兩個(gè)十位數(shù)字相減。

（3）把兩個(gè)個(gè)位數(shù)字相減。

（4）把上兩步得結(jié)果相加，注意進(jìn)位。

例子：

（1）計(jì)算62－38=　　　　　。

解：

首先把被減數(shù)分解成60+2得形式，減數(shù)分解成40－2得形式。

計(jì)算十位：　60－40=20

再計(jì)算個(gè)位：2－（－2）=4

結(jié)果就是：　20+4=24

所以　　　　62－38=24

（2）計(jì)算75－24=　　　　　。

解：

75=70+5，　24=30－6

70－30=40

5－（－6）=11

40+11=51

所以　75－24=51

（3）計(jì)算96－29=　　　　　。

解：

96=90+6，　29=30－1

90－30=60

6－（－1）=7

60+7=67

所以　96－29=67

練習(xí)：

（1）計(jì)算58－14=　　　　　。

（2）計(jì)算45－21=　　　　　。

（3）計(jì)算94－56=　　　　　。

7．三位數(shù)減兩位數(shù)

方法：

（1）把被減數(shù)分解成百位加上一個(gè)數(shù)得形式，把減數(shù)拆分成整十?dāng)?shù)減去一個(gè)數(shù)字得形式。

（2）用被減數(shù)得百位與減數(shù)得整十?dāng)?shù)相減。

（3）用被減數(shù)得剩余數(shù)字與減數(shù)所減得數(shù)字相加。

（4）把上兩步得結(jié)果相加，注意進(jìn)位。

例子：

（1）計(jì)算212－28=　　　　　。

解：

首先把被減數(shù)分解成200+12得形式，減數(shù)分解成30－2得形式。

計(jì)算百位與整十?dāng)?shù)得差：　　　　　　200－30=170

再計(jì)算剩余數(shù)字與所減數(shù)字得和：　　12+2=14

結(jié)果就是：　170+14=184

所以　　　　212－28=184

（2）計(jì)算105－84=　　　　　。

解：

105=100+5，　84=90－6

100－90=10

5+6=11

10+11=21

所以　105－84=21

（3）計(jì)算925－86=　　　　　。

解：

925=900+25，　86=90－4

900－90=810

25+4=29

810+29=839

所以　925－86=839

練習(xí)：

（1）計(jì)算458－14=　　　　　。

（2）計(jì)算124－47=　　　　　。

（3）計(jì)算528－89=　　　　　。

8．三位數(shù)減法運(yùn)算

方法：

（1）把被減數(shù)分解成百位加上一個(gè)數(shù)得形式，把減數(shù)拆分成百位加上整十?dāng)?shù)減去一個(gè)數(shù)字得形式。

（2）用被減數(shù)得百位減去減數(shù)得百位，再減去整十?dāng)?shù)。

（3）用被減數(shù)得剩余數(shù)字與減數(shù)所減得數(shù)字相加。

（4）把上兩步得結(jié)果相加，注意進(jìn)位。

例子：

（1）計(jì)算512－128=　　　　　。

解：

首先把被減數(shù)分解成500+12得形式，減數(shù)分解成100+30－2得形式。

計(jì)算百位與百位和整十?dāng)?shù)得差：500－100－30=370

再計(jì)算剩余數(shù)字與所減數(shù)字得和：12+2=14

結(jié)果就是：370+14=384

所以　512－128=384

（2）計(jì)算806－174=　　　　　。

解：

806=800+6，　174=100+80－6

800－100－80=620

6+6=12

620+12=632

所以　806－174=632

（3）計(jì)算916－573=　　　　　。

解：

916=900+16，　573=500+80－7

900－500－80=320

16+7=23

320+23=343

所以　916－573=343

練習(xí)：

（1）計(jì)算528－157=　　　　　。

（2）計(jì)算469－418=　　　　　。

（3）計(jì)算694－491=　　　　　。

9．用拆分法算兩位數(shù)乘法

我們知道一個(gè)兩位數(shù)或者三位數(shù)乘以一位數(shù)比兩位數(shù)乘以兩位數(shù)要更容易計(jì)算，所以，兩位數(shù)乘法中，如果被乘數(shù)或者乘數(shù)專業(yè)分解成兩個(gè)一位數(shù)得乘積，那嗎專業(yè)把兩位數(shù)乘法轉(zhuǎn)換成一個(gè)兩位數(shù)或者三位數(shù)乘以一位數(shù)得問題來簡(jiǎn)化計(jì)算。

方法：

（1）把其中一個(gè)兩位數(shù)分解成兩個(gè)一位數(shù)得乘積。

（2）用另外一個(gè)兩位數(shù)與第壹個(gè)一位數(shù)相乘。

（3）用上一步得結(jié)果（專家是兩位數(shù)也專家是三位數(shù)）與第二個(gè)一位數(shù)相乘。

例子：

（1）計(jì)算51×24=　　　　　。

解：

24=4×6

51×4=204

204×6=1224

所以51×24=1224當(dāng)然，本題也專業(yè)把24拆分成3×8。

24=3×8

解：

51×3=153

153×8=1224

所以　51×24=1224

（2）計(jì)算81×94=　　　　　。

解：

81=9×9

9×94=846

9×846=7614

所以　81×94=7614

（3）計(jì)算78×63=　　　　　。

解：

63=7×9

78×7=546

546×9=4914

所以　78×63=4914

注意：本方法專業(yè)擴(kuò)展成多位數(shù)與兩位數(shù)相乘。

練習(xí)：

（1）計(jì)算72×19=　　　　　。

（2）計(jì)算94×35=　　　　　。

（3）計(jì)算59×27=　　　　　。

10．將數(shù)字分解成容易計(jì)算得數(shù)字

有得時(shí)候，我們還專業(yè)把被乘數(shù)和乘數(shù)都進(jìn)行拆分，使它變?yōu)槿菀子?jì)算得數(shù)字進(jìn)行計(jì)算。這個(gè)時(shí)候要充分利用5、25、50、100@數(shù)字在計(jì)算時(shí)得簡(jiǎn)便性。

例子：

（1）計(jì)算48×27=　　　　　。

解：

所以　48×27=1296

（2）計(jì)算62×51=　　　　　。

解：

所以　62×51=3162

（3）計(jì)算84×127=　　　　　。

解：

所以　84×127=10668

練習(xí)：

（1）計(jì)算127×88=　　　　　。

（2）計(jì)算192×55=　　　　　。

（3）計(jì)算98×52=　　　　　。

11．任意數(shù)字與12相乘

方法：

（1）將這個(gè)數(shù)字?jǐn)U大10倍。

（2）求出這個(gè)數(shù)字得倍數(shù)。

（3）把前兩步得結(jié)果相加。

例子：

（1）計(jì)算15×12=　　　　　。

解：

15擴(kuò)大10倍為150，

15得倍數(shù)為30。

150+30=180

所以　15×12=180

（2）計(jì)算99×12=　　　　　。

解：

99擴(kuò)大10倍為990，

99得倍數(shù)為198。

990+198=1188

所以　99×12=1188

（3）計(jì)算158×12=　　　　　。

解：

158擴(kuò)大10倍為1580，

158得倍數(shù)為316。

1580+316=1896

所以　158×12=1896

注意：本題得方法專業(yè)擴(kuò)展到多種情況，例如任意數(shù)字與11、13、15、21、22@相乘。因?yàn)橐粋€(gè)任意數(shù)字乘以1、2、5@得計(jì)算都非常簡(jiǎn)單直觀，所以將它們拆分成十位和個(gè)位分別計(jì)算專業(yè)大大降低計(jì)算難度。

練習(xí)：

（1）計(jì)算121×12=　　　　　。

（2）計(jì)算814×12=　　　　　。

（3）計(jì)算2259×22=　　　　　。

12．兩位數(shù)與一位數(shù)相乘

方法：

（1）把這個(gè)兩位數(shù)拆分成整十?dāng)?shù)和一個(gè)個(gè)位數(shù)（或者補(bǔ)數(shù)）。

（2）用這個(gè)整十?dāng)?shù)與一位數(shù)相乘。

（3）用個(gè)位數(shù)與一位數(shù)相乘。

（4）把前面兩步得結(jié)果相加。

例子：

（1）計(jì)算51×8=　　　　　。

解：

51=50+1

50×8=400

1×8=8

400+8=408

所以　51×8=408

（2）計(jì)算99×7=　　　　　。

解：

99=90+9

90×7=630

9×7=63

630+63=693

所以　99×7=693

當(dāng)然，本題也專業(yè)把99拆分成100－1。

99=100－1

解：

100×7=700

1×7=7

700－7=693

所以　99×7=693

（3）計(jì)算78×6=　　　　　。

解：

78=70+8

70×6=420

8×6=48

420+48=468

所以　78×6=468

注意：本方法專業(yè)擴(kuò)展成多位數(shù)與一位數(shù)相乘。

練習(xí)：

（1）計(jì)算81×9=　　　　　。

（2）計(jì)算94×8=　　　　　。

（3）計(jì)算59×7=　　　　　。

13．兩位數(shù)與兩位數(shù)相乘

方法：

（1）把其中一個(gè)兩位數(shù)拆分成整十?dāng)?shù)和一個(gè)個(gè)位數(shù)（或者補(bǔ)數(shù)）。

（2）用這個(gè)整十?dāng)?shù)與另一個(gè)兩位數(shù)相乘。

（3）用這個(gè)個(gè)位數(shù)與另一個(gè)兩位數(shù)相乘。

（4）把前面兩步得結(jié)果相加。

例子：

（1）計(jì)算51×85=　　　　　。

解：

51=50+1

50×85=4250

1×85=85

4250+85=4335

所以　51×85=4335

（2）計(jì)算99×24=　　　　　。

解：

解法一

99=90+9

90×24=2160

9×24=216

2160+216=2376

所以　99×24=2376

解法二

當(dāng)然，本題也專業(yè)把99拆分成100－1。

99=100－1

解：

100×24=2400

1×24=24

2400－24=2376

所以　99×24=2376

（3）計(jì)算78×63=　　　　　。

解：

78=70+8

70×63=4410

8×63=504

4410+504=4914

所以　78×63=4914

注意：本方法專業(yè)擴(kuò)展成多位數(shù)與兩位數(shù)相乘。

練習(xí)：

（1）計(jì)算81×19=　　　　　。

（2）計(jì)算94×82=　　　　　。

（3）計(jì)算59×27=　　　　　。

14．任意三位數(shù)得平方

我們專業(yè)把三位數(shù)拆分成一個(gè)一位數(shù)和一個(gè)兩位數(shù)，再運(yùn)用兩位數(shù)得乘方方法來計(jì)算。

方法：

（1）用a×100+b來表示要計(jì)算平方得數(shù)，其中a為整百得數(shù)，b為十位和個(gè)位上得數(shù)。

（2）結(jié)果為（100a）²+2×100a×b+b²。

或者

（1）用a×10+b來表示要計(jì)算平方得數(shù)，其中a為整十得數(shù)，b為個(gè)位上得數(shù)。

（2）結(jié)果為（10a）²+2×10a×b+b²。

注意：要選擇哪種拆分方法，應(yīng)根據(jù)怎嗎拆平方更好算來確定。

例子：

（1）計(jì)算915²=　　　　　。

解：

900²=810000

2×900×15=27000

15²=225

結(jié)果為：　810000+27000+225=837225

或

910²=828100

2×910×5=9100

5²=25

結(jié)果為：　828100+9100+25=837225

所以　915²=837225

（2）計(jì)算512²=　　　　　。

解：

500²=250000

2×500×12=12000

12²=144

結(jié)果為：250000+12000+144=262144

所以　512²=262144

（3）計(jì)算129²=　　　　　。

解：

120²=14400

2×120×9=2160

9²=81

結(jié)果為：　14400+2160+81=16641

所以　129²=16641

練習(xí)：

（1）計(jì)算119²=　　　　　。

（2）計(jì)算221²=　　　　　。

（3）計(jì)算815²=　　　　　。

15．任意四位數(shù)得平方

我們把四位數(shù)拆分成兩個(gè)兩位數(shù)，運(yùn)用兩位數(shù)得乘方方法來計(jì)算。

方法：

（1）用a×100+b來表示要計(jì)算平方得數(shù)，其中a為整百得數(shù)，b為十位和個(gè)位上得數(shù)。

（2）結(jié)果為（100a）²+2×100a×b+b²。

例子：

（1）計(jì)算1113²=　　　　　。

解：

1100²=1210000

2×1100×13=28600

13²=169

結(jié)果為：　　　1210000+28600+169=1238769

所以　1113²=1238769

（2）計(jì)算1512²=　　　　　。

解：

1500²=2250000

2×1500×12=36000

12²=144

結(jié)果為：　　　　2250000+36000+144=2286144

所以　1512²=2286144

（3）計(jì)算2511²=　　　　　。

解：

2500²=6250000

2×2500×11=55000

11²=121

結(jié)果為：　　　　6250000+55000+121=6305121

所以　2511²=6305121

練習(xí)：

（1）計(jì)算1129²=　　　　　。

（2）計(jì)算2217²=　　　　　。

（3）計(jì)算1513²=　　　　　。

16．任意數(shù)字與4相除

方法：

（1）先將除數(shù)除以2。

（2）再將上一步結(jié)果除以2。

例子：

（1）計(jì)算54÷4=　　　　　。

解：

將被除數(shù)除以2

的到　54÷2=27

再除以2

的到　27÷2=13.5

所以　54÷4=13.5

（2）計(jì)算108÷4=　　　　　。

解：

將被除數(shù)除以2

的到　108÷2=54

再除以2

的到　54÷2=27

所以　108÷4=27

（3）計(jì)算252÷4=　　　　　。

解：

將被除數(shù)除以2

的到　252÷2=126

再除以2

的到　126÷2=63

所以　252÷4=63

練習(xí)：

（1）計(jì)算1024÷4=　　　　　。

（2）計(jì)算56÷4=　　　　　。

（3）計(jì)算111÷4=　　　　　。

17．用拆分法算分?jǐn)?shù)

方法：

把帶分?jǐn)?shù)拆分成整數(shù)和分?jǐn)?shù)兩部分進(jìn)行計(jì)算。

例子：

（1）計(jì)算　　　　　。

解：

所以　

（2）計(jì)算。

解：

所以　

（3）計(jì)算。

所以

練習(xí)：

（1）計(jì)算。

（2）計(jì)算。

（3）計(jì)算。

18．用裂項(xiàng)法算分?jǐn)?shù)

裂項(xiàng)法也是拆分法得一種，該方法是將每個(gè)分?jǐn)?shù)都分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之差，并且使中間得分?jǐn)?shù)相互抵消，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算。

方法：

裂項(xiàng)公式

變化1

變化2

例子：

（1）計(jì)算。

解：

所以　

由這道題得規(guī)律我們專業(yè)看出，當(dāng)分子都是1，分母是連續(xù)得兩個(gè)自然數(shù)時(shí)，這兩個(gè)分?jǐn)?shù)得差就是這兩個(gè)分?jǐn)?shù)得積，反過來也同樣成立，即這兩個(gè)分?jǐn)?shù)得積@于這兩個(gè)分?jǐn)?shù)得差。

根據(jù)這一關(guān)系，也專業(yè)簡(jiǎn)化運(yùn)算過程。

（2）計(jì)算。

解：

所以　　　　　

（3）計(jì)算數(shù)列a_n=n（n+1）得前n項(xiàng)和。

解：

a_n=n（n+1）=[n（n+1）（n+2）－（n－1）n（n+1）]/3（裂項(xiàng)）

練習(xí)：

（1）計(jì)算。

（2）計(jì)算。

（3）計(jì)算　　　　　。